球的体积公式推导(球的体积公式推导过程高中需要掌握吗)

2024-05-04 07:50:47

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在空间直角坐标系中.

球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2

沿着x轴正方向,球体被分成若干个圆,他们以x轴为圆心,半径

r为x的函数r(x)=√r^2-x^2

体积v=π∫（√r^2-x^2）^2dx(积分上限为r,下限为-r)

=(4/3)r^3

1．球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积．

（具体过程见课本）

2．定理：半径是的球的体积公式为：．

3．体积公式的应用

求球的体积只需一个条件,那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．

球内切于正方体,球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球,球的半径等于正方体棱长的倍（即球体对角钱的一半）；棱长为的正四面体的内切球的半径为 ,外接球半径为．

也可以用微积分来求,不过不好写

是用积分求出的。没发明积分运算时，球的体积是用祖暅原理做出的。好象表面积是到有极限运算时才做出的，也是类似于积分的原理。

球体

考察半径为rr的球在距球心高hh处的截面积ss.

由勾股定理知，高hh处的小圆半径为r=r2−h2−−−−−−−√r=r2−h2.

所以

s=πr2s=πr2

s=π(r2−h2)s=π(r2−h2)

s=πr2−πh2s=πr2−πh2

观察这个式子，rr是常数，hh在变化，容易得出结论：所需构造的等积几何体即是球的外接圆柱除去中心在球心顶角为直角的圆锥的部分。

（图片来自 slide《球体面积和体积》）

由此立得

v球=πr2⋅(2r)−13πr2⋅(2r)v球=πr2⋅(2r)−13πr2⋅(2r)

v球=23⋅π⋅2r3v球=23⋅π⋅2r3

v球=43πr3v球=43πr3

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